1.1 Capitalização Simples
1.2 Conceito
No regime de capitalização simples, os juros são calculados sempre sobre o valor inicial, não ocorrendo qualquer alteração da base de cálculo durante o período de cálculo dos juros. Na modalidade de juros simples, a base de cálculo é sempre o Valor Atual ou Valor Presente (PV), enquanto na modalidade de desconto bancário a base de cálculo é sempre o valor nominal do título (FV). O regime de capitalização simples representa, portanto, uma equação aritmética, sendo que o capital cresce de forma linear, seguindo uma reta; logo, é indiferente se os juros são pagos periodicamente ou no final do período total. O regime de capitalização simples é muito utilizado em países com baixo índice de inflação e custo real do dinheiro baixo; no entanto, em países com alto índice de inflação ou custo financeiro real elevado, a exemplo do Brasil, a utilização de capitalização simples só é recomendada para aplicações de curto prazo. A capitalização simples, porém, representa o início do estudo da matemática financeira, pois todos os estudos de matemática financeira são oriundos de capitalização simples. (KUHNEN, 2008).
1.3 Juros Simples
No regime de juros simples, os juros de cada período são sempre calculados em função do capital inicial (principal) aplicado. Os juros do período não são somados ao capital para o cálculo de novos juros nos períodos seguintes. Os juros não são capitalizados e, conseqüentemente, não rendem juros. Assim, apenas o principal é que rende juros. (PUCCINI, 2004).
1.3.1Fórmulas
Valor do juro simples - J
Valor do montante simples - FV
Valor Presente – PV
Cálculo da taxa de juros simples – i
Cálculos do período em juros simples – n
1.3.2 Juros Simples Comerciais, ordinários ou bancários.
Nos juros simples comerciais ou ordinários, para estabelecer a conformidade entre a taxa e o período utilizam-se o ano comercial. Logo, em juros comerciais todos os meses têm 30 dias e o ano têm 360 dias, não importando o calendário civil.
1.3.3 Juros Simples Exatos
Já os juros simples exatos apóiam-se no calendário civil para calcular o número de dias entre duas datas. Sendo que o mês segue o número de dias do calendário, e o ano civil possui 365 dias ou 366 em ano bissexto.
1.3.4 Juros Simples pela regra dos banqueiros
Os bancos geralmente utilizam uma combinação entre os conceitos de juros comerciais e exatos, denominado juros pela regra dos banqueiros. Sendo que para calcular o número de dias entre duas datas, utiliza-se o conceito de juros exatos, ou seja, calendário civil, já para calcular o número total de dias de um ano ou mês, utiliza-se o conceito de juros comerciais, ou seja, um mês têm 30 dias e um ano têm 360 dias. Este conceito é geralmente empregado em transações financeiras de curto prazo.
1.3.5 Exemplos
1) (CESAR, 2000). Se R$ 3.000,00 foram aplicados por cinco meses à taxa de juros simples de 4% ao mês, determine:
a) Os juros recebidos;
b) O montante.
Solução:
a)
b)
2) (VIEIRA SOBRINHO, 2000). Um capital de R$ 28.000,00, aplicado durante 8 meses, rendeu juros de R$ 11.200,00. Determinar a taxa anual de juros simples.
Solução:
3) (ASSAF NETO, 2001) Se uma pessoa necessita de R$ 100.000,00 daqui a 10 meses, quanto deverá ela depositar hoje num fundo de poupança que remunera à taxa linear de 12% ao ano?
Solução:
4) (CRESPO, 2002) Qual o prazo para que uma aplicação de R$ 200.000,00, a taxa de juros simples de 2,5% ao mês, renda um montante de R$ 240.000,00?
Solução:
5) (KUHNEN, 2008). Calcular os juros ordinários, juros, exatos e juros pela regra dos banqueiros de um capital de R$ 100.000,00 aplicados de 15/07/2008 a 15/09/2008 em um banco que cobra juros simples de 30% ao ano.
a) Pelo juro ordinário ou comercial;
b) Pelo juro exato;
c) Pela regra dos banqueiros.
Solução:
a)
b)
c)
1.4 Taxas Proporcionais.
Para se compreender mais claramente o significado destas taxas deve-se reconhecer que toda operação envolve dois prazos: (1) o prazo a que se refere à taxa de juros; e (2) o prazo de capitalização (ocorrência) dos juros. (ASSAF NETO, 2001).
Taxas Proporcionais: Duas (ou mais) taxas de juro simples são ditas proporcionais quando seus valores e seus respectivos períodos de tempo, reduzidos a uma mesma unidade, forem uma proporção. (PARENTE, 1996).
1.4.1 Exemplos
1) (ASSAF NETO, 2001). Calcular a taxa anual proporcional a: (a) 6% ao mês; (b) 10% ao bimestre.
Solução:
a)
b)
2) (PARENTE, 1996). Encontrar as taxas de juro simples mensal, trimestral e anual, proporcionais a 2% ao dia.
Solução
1.5 Desconto Simples Comercial ou Bancário (Por Fora)
Um dos modelos de juros simples mais utilizados no mercado financeiro é o chamado juro antecipado, juro adiantado, desconto de títulos ou simplesmente desconto bancário. Este é o modelo utilizado na modalidade de desconto e também por empresas de factoring, bem como em transações de curto prazo quando o pagamento for efetuado em uma única parcela, inclusive para cálculo de preço de venda.
Este modelo consiste em calcular o Valor Presente descontando do Valor Futuro (Valor de Face) uma parcela igual ao produto do Valor Futuro pela “taxa de juros” e pelo número de períodos até o vencimento do título negociado. (KUHNEN, 2008).
1.5.1 Fórmulas
Valor do Desconto Simples Comercial
Valor Presente com Desconto Simples Comercial
Valor Futuro com Desconto Simples Comercial
Número de Períodos com Desconto Simples Comercial
Taxa de Desconto Simples Comercial
1.5.2 Exemplos
1) (CRESPO, 2002). Um título de R$ 6.000,00 vai ser descontado à taxa de 2,1% ao mês. Faltando 45 dias para o vencimento do título, determine:
a) O valor do desconto comercial;
b) O valor atual comercial.
Solução:
a)
b)
2) (VIEIRA SOBRINHO, 2000). Qual a taxa mensal de desconto utilizada numa operação a 120 dias, cujo valor de resgate é de R$ 1.000,00 e cujo valor atual é de R$ 880,00?
Solução:
3) (VIEIRA SOBRINHO, 2000). Uma duplicata no valor de R$ 6.800,00 é descontada por um banco, gerando um crédito de R$ 6.000,00 na conta do cliente. Sabendo-se que a taxa cobrada pelo banco é de 3,2% ao mês, determinar o prazo de vencimento da duplicata.
Solução:
1.6 Desconto Simples Racional (Por Dentro)
O desconto simples racional (Dr) também chamado de desconto por dentro ou desconto real é equivalente ao juro produzido pelo valor atual do título numa taxa fixada e durante o tempo correspondente.
Na pratica, somente o desconto comercial é utilizado; porém, é necessário fazermos um rápido estudo do desconto racional porque, o desconto composto está ligado a esse conceito. (CRESPO, 2002).
1.6.1 Fórmulas
Valor do Desconto Simples Racional
Valor Presente com Desconto Simples Racional
Valor Futuro com Desconto Simples Racional
Número de Períodos com Desconto Simples Racional
Taxa de Desconto Simples Racional
1.6.2 Exemplos
1) (ASSAF NETO, 2001). Seja um título de valor nominal de R$ 4.000,00 vencível em um ano, que está sendo liquidado 3 meses antes de seu vencimento. Sendo de 42% a.a. a taxa nominal de juros corrente, pede-se calcular o desconto e o valor descontado desta operação.
Solução:
Desconto
Valor Descontado
2) (ASSAF NETO, 2001). Determinar a taxa mensal de desconto racional de um título negociado 60 dias antes de seu vencimento, sendo seu valor de regate igual a R$ 26.000,00 e valor atual na data do desconto de R$ 24.436,10.
Solução:
1.7 Equivalência de Capitais a Juros Simples.
Dois (ou mais) capitais, com datas de vencimento diferentes, são ditos capitais equivalentes quando, transportados para uma mesma data, a mesma taxa, produzirem, nessa data, valores iguais.
A data para a qual os capitais serão transportados é chamada data focal. No regime de juros simples, a escolha da data focal influencia a resposta do problema. Isto significa que definida uma taxa de juro, e a forma de calculo (se racional ou comercial), dois capitais diferentes, em datas diferentes, podem ser equivalentes, se transportados para outra data, mesmo mantendo-se todas as outras condições do problema. (PARENTE, 1996).
1.7.1 Formulas
Para vencimentos anteriores a data focal
Para vencimentos posteriores a data focal
1.7.2 Exemplo
1) Um empresário tem os seguintes compromissos a pagar:
- R$ 3.000,00 daqui a 4 meses
- R$ 5.000,00 daqui a 8 meses
- R$ 12.000,00 daqui a 12 meses
O empresário propõe trocar esses débitos por dois pagamentos iguais, um para daqui a 6 meses e outro para daqui a 9 meses. Considerando a taxa de juros simples de 5% a.m. e a data focal no 270° dia, calcular o valor de cada pagamento.
Solução:
Fluxo de caixa
REFERÊNCIAS
KUHNEN, OSMAR LEONARDO. Finanças Empresariais. 2. Ed. São Paulo: Atlas, 2008.
PUCCINI, ABELARDO DE LIMA. Matemática Financeira: Objetiva e Aplicada. 7. Ed. São Paulo: Saraiva, 2004.
CESAR, BENJAMIN. Matemática Financeira: teoria e 800 questões. 2. Ed. Rio de Janeiro: Impetus, 2000.
VIEIRA SOBRINHO, JOSÉ DUTRA. Matemática Financeira. 7. Ed. São Paulo: Atlas, 2000.
ASSAF NETO, ALEXANDRE. Matemática Financeira e suas Aplicações. 6. Ed. São Paulo: Atlas, 2001.
CRESPO, ANTÔNIO ARNOT. Matemática Comercial e Financeira Fácil. 13. Ed. São Paulo: Saraiva, 2002.
PARENTE, EDUARDO AFONSO DE MEDEIROS, Matemática Comercial e Financeira. Ed reform. São Paulo: FTD, 1996.